(3주차) 9월27일
이미지 자료에 대한 이해, 산점도, 상관계수
- (지난강의노트 보충) 이미지 자료에 대한 이해
- 산점도 (scatter plot)
- 숙제1
- 라인플랏을 그리는 방법
- matplotlib에서 산점도와 라인플랏 그리기 (종합)
- 여러그림을 그리기
- 숙제2
- 흑백이미지
- 차원: 세로픽셀수 $\times$ 가로픽셀수
- 값: 0~255 (값이 클수록 흰색)
- 칼라이미지
- 차원: 세로픽셀수 $\times$ 가로픽셀수 $\times$ 3
- 값: 0~255 (값이 클수록 진한빨강, 진한파랑, 진한녹색)
import cv2 as cv
hani=cv.imread('2021-08-25-Hani01.jpeg')
import matplotlib.pyplot as plt
plt.imshow(hani)
hani.shape
import numpy as np
hani_red=np.zeros_like(hani)
hani_green=np.zeros_like(hani)
hani_blue=np.zeros_like(hani)
hani_red[:,:,0]=hani[:,:,0]
hani_green[:,:,1]=hani[:,:,1]
hani_blue[:,:,2]=hani[:,:,2]
plt.imshow(hani_red)
plt.imshow(hani_green)
plt.imshow(hani_blue)
plt.imshow(hani_blue+hani_red)
plt.imshow(hani_blue+hani_green)
plt.imshow(hani_red+hani_green)
plt.imshow(hani_red+hani_green+hani_blue)
import matplotlib.pyplot as plt
- 산점도: 산점도는 직교 좌표계(도표)를 이용해 좌표상의 점들을 표시함으로써 두 개 변수 간의 관계를 나타내는 그래프 방법
x=[1,2,3,4]
y=[2,3,5,5]
plt.plot(x,y,'o')
- 산점도는 보통 $X$와 $Y$의 관계를 알고 싶을 경우 그린다.
- 아래와 같은 자료를 수집하였다고 하자.
- 몸무게=[44,48,49,58,62,68,69,70,76,79]
- 키=[159,160,162,165,167,162,165,175,165,172]
x=[44,48,49,58,62,68,69,70,76,79]
y=[159,160,162,165,167,162,165,175,165,172]
plt.plot(x,y,'o')
- 키가 큰 사람일수록 몸무게도 많이 나간다. (반대도 성립)
- 키와 몸무게는 관계가 있어보인다. (정비례관계)
- 얼만큼 정비례 인지?
- 이 질문에 대답하기 위해서는 상관계수의 개념을 알아야 한다.
- 상관계수에 대한 개념은 산점도를 이해함에 있어서 핵심개념이다.
- (표본)상관계수
$$r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}$$
- 복잡해보이지만 아무튼 (1) 분자를 계산하고 (2) 분모를 계산하고 (3) 분자를 분모로 나누면 된다.
- 분모를 계산했다고 치자. 계산한 값을 상수 $c$라고 생각하자. 이 값을 분자의 sum안에 넣으면...
$$r=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{c}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$
- 이 식을 정리하면
$$r=\sum_{i=1}^{n}\Bigg(\frac{(x_i-\bar{x})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}}\frac{(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}\Bigg)$$
- 편의상 다음과 같이 정의하자. $\tilde{x}_i = \frac{(x_i-\bar{x})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}}$, $\tilde{y}_i = \frac{(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}$
- 결국 $r$은 아래와 같은 모양이다.
$$r=\sum_{i=1}^{n} \tilde{x}_i \tilde{y}_i$$
- 의미?
import numpy as np
x=np.array(x)
y=np.array(y)
plt.plot(x,y,'o')
plt.plot(x-np.mean(x), y-np.mean(y),'o')
- $a=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}, b=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}$
a=np.sqrt(np.sum((x-np.mean(x))**2))
b=np.sqrt(np.sum((y-np.mean(y))**2))
a,b
- $a>b$ 이므로 $\{x_i\}$들이 $\{y_i\}$들 보다 좀 더 퍼져있다. (=평균근처에 몰려있지 않다)
- 사실 $a,b$는 아래와 같이 계산할 수 있다.
$a=\sqrt{n}\times{\tt np.std(x)}$
$b=\sqrt{n}\times{\tt np.std(y)}$
n=len(x)
np.sqrt(n)*np.std(x), np.sqrt(n)*np.std(y)
- ${\tt np.std(x)}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
- ${\tt np.std(y)}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}$
- 이제 $(\tilde{x}_i,\tilde{y}_i)$를 그려보자.
xx= (x-np.mean(x))/a
yy= (y-np.mean(y))/b
plt.plot(xx,yy,'o')
- 평균도 비슷하고 퍼진정도도 비슷하다.
- 질문1: $r$의 값이 양수인가? 음수인가?
plotly 사용하여 그려보자.
import plotly.express as px
from IPython.display import HTML
fig=px.scatter(x=xx, y=yy)
HTML(fig.to_html(include_plotlyjs='cdn',include_mathjax=False))
- $\tilde{x}_i$, $\tilde{y}_i$ 를 곱한값이 양수인것과 음수인것을 체크해보자.
- 양수인쪽이 많은지 음수인쪽이 많은지 생각해보자.
- $r=\sum_{i=1}^{n}\tilde{x}_i \tilde{y}_i$ 의 부호는?
- 질문2: 아래와 같은 두개의 데이터set이 있다고 하자.
x1=np.arange(0,10,0.1)
y1=x1+np.random.normal(loc=0,scale=1.0,size=len(x1))
plt.plot(x1,y1,'o')
x2=np.arange(0,10,0.1)
y2=x2+np.random.normal(loc=0,scale=7.0,size=len(x2))
plt.plot(x2,y2,'x')
plt.plot(x1,y1,'o')
plt.plot(x2,y2,'x')
각 데이터셋의 표준상관계수를 각각 $r_1$(파란색), $r_2$(주황색)라고 하자.
(1) $r_1$, $r_2$의 부호는 양수인가? 음수인가?
(2) $r_1,r_2$의 값중 어떠한 값이 더 절대값이 큰가?
n=len(x1)
xx1= (x1-np.mean(x1)) / (np.std(x1) * np.sqrt(n))
yy1= (y1-np.mean(y1)) / (np.std(y1) * np.sqrt(n))
xx2= (x2-np.mean(x2)) / (np.std(x2) * np.sqrt(n))
yy2= (y2-np.mean(y2)) / (np.std(y2) * np.sqrt(n))
plt.plot(xx1,yy1,'o') ## 파란색
plt.plot(xx2,yy2,'x') ## 주황색
sum(xx1*yy1), sum(xx2*yy2)
- 임의의 이미지를 cv.imread() 로 불러온뒤에 아래와 같이 blue+green의 조합으로 이미지를 변경해볼것
plt.imshow(hani_blue+hani_green)
maru=cv.imread('maru_img.jpeg')
maru=cv.cvtColor(maru, cv.COLOR_BGR2RGB)
import matplotlib.pyplot as plt
plt.imshow(maru)
import numpy as np
maru_red=np.zeros_like(maru)
maru_green=np.zeros_like(maru)
maru_blue=np.zeros_like(maru)
maru_red[:,:,0]=maru[:,:,0]
maru_green[:,:,1]=maru[:,:,1]
maru_blue[:,:,2]=maru[:,:,2]
plt.imshow(maru_green)
plt.imshow(maru_blue)
plt.imshow(maru_blue+maru_green)
import matplotlib.pyplot as plt
x=[1,2,3,4]
y=[1,2,4,3]
plt.plot(x,y)
- plt.plot()를 사용하면 산점도와 라인플랏을 다양한 조합으로 쉽고 편리하게 그릴수 있음
x=[1,2,3,4]
y=[1,2,4,3]
plt.plot(x,y,'o:r') # 20정도의 점의 모양, 4개의 선의모양, 8개의 색깔
import numpy as np
x=np.arange(-5,5,0.1)
y=2*x+np.random.normal(loc=0,scale=1,size=100)
plt.plot(x,y,'.b')
plt.plot(x,2*x,'--r')
x=[1,2,3,4]
y=[1,2,4,3]
_, axs = plt.subplots(2,2)
axs[0,0].plot(x,y,'o:r')
axs[0,1].plot(x,y,'Xb')
axs[1,0].plot(x,y,'xm')
axs[1,1].plot(x,y,'.--k')
plt.subplots??
- subplots의 리턴값이 (fig,axs) 이 나오게된다. 우리는 뒤의 axs만 관심이 있으므로 앞의 fig는 _로 처리한다.
- 교과서에 나오는 그림임.
- 교훈: 데이터를 분석하기 전에 항상 시각화를 하라.
x = [10, 8, 13, 9, 11, 14, 6, 4, 12, 7, 5]
y1 = [8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96, 7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68]
y2 = [9.14, 8.14, 8.74, 8.77, 9.26, 8.10, 6.13, 3.10, 9.13, 7.26, 4.74]
y3 = [7.46, 6.77, 12.74, 7.11, 7.81, 8.84, 6.08, 5.39, 8.15, 6.42, 5.73]
x4 = [8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 19, 8, 8, 8]
y4 = [6.58, 5.76, 7.71, 8.84, 8.47, 7.04, 5.25, 12.50, 5.56, 7.91, 6.89]
_, axs = plt.subplots(2,2)
axs[0,0].plot(x,y1,'o')
axs[0,1].plot(x,y2,'o')
axs[1,0].plot(x,y3,'o')
axs[1,1].plot(x4,y4,'o')
- 상관계수를 잠깐 복습해보자.
- 상관계수는 -1 ~ 1 사이의 값을 가진다. (코쉬슈바르츠 부등식을 사용하여 증명가능)
- 완전한 직선이라면 상관계수가 1 또는 -1이다.
- 상관계수가 1에 가까우면 양의 상관관계에 있다고 말하고 -1에 가까우면 음의 상관관계에 있다고 말한다.
- 의문: 자료의 모양이 직선모양에 가까우면 상관계수가 큰것이 맞나?
- $x,y$ 값이 모두 큰 하나의 관측치가 상관계수값을 키울 수 있지 않나?
- 상관계수가 좋은것은 맞나? (=상관계수는 두 변수의 관계를 설명하기에 충분히 적절한 통계량인가?)
n=len(x) #
xtilde = (x-np.mean(x)) / (np.std(x)*np.sqrt(n))
y1tilde = (y1-np.mean(y1)) / (np.std(y1)*np.sqrt(n))
sum(xtilde*y1tilde)
np.corrcoef(x,y1)
np.corrcoef([x,y1,y2,y3])
np.corrcoef([x4,y4])
- 위의 4개의 그림에 대한 상관계수는 모두 같다. (0.81652)
- 상관계수는 두 변수의 관계를 설명하기에 부적절하다.
- 상관계수는 1번그림과 같이 두 변수가 선형관계에 있을때 그 정도를 나타내는 통계량일뿐이다.
- 선형관계가 아닌것처럼 보이는 자료에서는 상관계수를 계산할수는 있겠으나 의미가 없다.
- 교훈2: 기본적인 통계량들은 실제자료를 분석하기에 부적절할수 있다. (=통계량은 적절한 가정이 동반되어야 의미가 있다)
- 앤스콤의 플랏을 붉은색을 사용하여 그려보기!
x = [10, 8, 13, 9, 11, 14, 6, 4, 12, 7, 5]
y1 = [8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96, 7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68]
y2 = [9.14, 8.14, 8.74, 8.77, 9.26, 8.10, 6.13, 3.10, 9.13, 7.26, 4.74]
y3 = [7.46, 6.77, 12.74, 7.11, 7.81, 8.84, 6.08, 5.39, 8.15, 6.42, 5.73]
x4 = [8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 19, 8, 8, 8]
y4 = [6.58, 5.76, 7.71, 8.84, 8.47, 7.04, 5.25, 12.50, 5.56, 7.91, 6.89]
_, axs = plt.subplots(2,2)
axs[0,0].plot(x,y1,'or')
axs[0,1].plot(x,y2,'or')
axs[1,0].plot(x,y3,'or')
axs[1,1].plot(x4,y4,'or')
